lunes, 24 de noviembre de 2008




APORTES DE LA TRIGONOMETRIA DE FRANCOIS VIETTE





¿Quien fue Viette?


François Viéte (1540-1603), matemático francés, que escribió bajo el nombre Latinized Franciscus Vieta. Estudió Derecho en la Universidad de Poitiers, y pasó a ser consejero jurídico. Vieta más tarde pasó a ser miembro del consejo del rey, que actúa en virtud de Henry III y Henry IV. Vieta Sin embargo, pasan su tiempo libre en los estudios matemáticos, y fue capaz de hacer importantes contribuciones a las matemáticas en las áreas de aritmética, álgebra, la trigonometría y la geometría.


¿CUÁLES FUERON LAS CONTRIBUCIONES DE VIÉTE A LAS MATEMÁTICAS?

Viéte tuvo dos períodos, el primero entre 1564 y 1568, el segundo en 1584 a 1589. En estos dos períodos pudo reflexionar sobre sus grandes descubrimientos en el campo de las matemáticas.

Sus contribuciones matemáticas tocan los campos de la aritmética, el álgebra, la trigonometría y la astronomía, sin descartar la geometría. Empezó trabajando en astronomía y en trigonometría.


Algunas de sus obras son las siguientes:

1.- La Harmonicon coeleste, realizada entre 1564 y1568, el cual es un trabajo de astronomía y trigonometría. Esta obra no se imprimió nunca.

2.- Canon mathematicus seu ad triangula, cuya impresión no duró menos de ocho años y que apareció finalmente en 1579. En esta obra se observa una utilización sistemática de los números decimales, empleando algunas veces la coma y una raya vertical para separar la parte entera de la parte decimal. Desea ardientemente promover el uso de los números decimales, ya que escribe que las fracciones sexagesimales y los múltiplos de sesenta deberían ser utilizados de manera esporádica o sencillamente eliminados de las matemáticas, mientras que se deberían usar con frecuencia, los múltiplos y submúltiplos de diez.
Por así escribe la apotema de un polígono regular de 96 lados, inscrito en un círculo de diámetro de 200 000, como 99 946 458.75, donde 99 946 va en negrita para indicar la parte entera. En ocasiones, escribe el mismo número con la expresión simbólica .

3.- El Canon mathematicus, contiene notables contribuciones a la trigonometría. Generaliza una aproximación analítica a la trigonometría que se designa a veces por el vocablo <>. Así, aplicando sistemáticamente el álgebra a la trigonometría.
En particular, en el Canon encontramos las siguientes identidades:


SEN θ=SEN (60º +θ) +SEN (60º-θ)
3 SENθ-4SEN3 θ =SEN3θ
CSCθ - COTθ=TAN (θ/2)
CSCθ + COTθ=COT (θ/2)



Viéte descubre de nuevo la mayor parte de las identidades elementales y obtiene fórmulas generales equivalentes a las expresiones de Sen(nx) y Cos(nx) en función de Sen x y Cos x. Consigue mediante una manipulación ingeniosa de los triángulos rectángulos y de la identidad:


Obtener formulas para el Sen(nx) y Cos(nx) equivalentes a:











Encontramos también, entre las formulas que convierten un producto de funciones en una suma o una diferencia, la formula obtenida por Viéte:


sen(A+B)+sen(A-B)=2senA*cosB
sen(A-B)- sen(A-B)=2senB*cosA


Y formulas análogas para los cósenos. Viéte obtiene también el teorema del coseno aunque lo formula así:











Donde a, b y c son los lados y C un ángulo.

4.- En su obra Variorum de Rebus Mathematicis, Publicada en 1593 encontramos un enunciado equivalente al del teorema de la tangente:






Donde A y B son ángulos, a y b son los lados de un triángulo.

Viéte considera la trigonometría como una rama Independiente de las matemáticas y hace una exposición de la misma análoga a la de Rhaeticus, aunque perfeccionando las tablas trigonométricas de este. Aumenta las tablas de Rhaeticus para las seis funciones trigonométricas dando valores para intervalos de un segundo con una precisión de siete decimales.

5.- Tratado de Algebra In Artem Analyticam Isagoge, publicado en Tours en 1591 y más tarde en París en 1624. Esta es la obra que hizo famoso a Viéte. En esta obra hace una contribución original al Álgebra simbólica que es sensiblemente análoga a nuestra concepción moderna.
Algunos de sus predecesores habían adelantado ya algunos rudimentos de simbolismo que evidenciaban preocupaciones muy legitimas - basta recordar, la expresión igual a 20, para X6 + 8X3 = 20, de Bombelli , los signos + y – de Johann Widmann , el signo = introducido por Recorde, el signo impreso por primera vez por Rudolff y la introducción por Jordanus Nemorarius de las letras para indicar magnitudes conocidas o no –sin embargo, antes de Viète no parece haber modo de distinguir la cantidad desconocida de las otras cantidades.

La solución elegida por Viéte es a la vez sencilla y eficaz. Las vocales (A, E, I,...) representan las cantidades desconocidas mientras que las consonantes (B, C, D,...) simbolizan las cantidades conocidas. Observemos que nuestra convención moderna, debida a René Descartes es contraria a la suya.

La adopción de Viéte de un simbolismo adecuado para identificar la cantidad desconocida y la utilización de los símbolos germánicos para la adición y substracción no son sin embargo suficientes para simbolizar completamente la ecuación cuadrática.
En efecto, su álgebra es moderna en algunos aspectos y antigua en lo que respecta a la utilización de palabras o abreviaturas.

De este modo, en vez de escribir la ecuación:
3ax2+5bx-x3= C
3BA2 +5FA-A2=D

Donde A es la incógnita y B, F y D parámetros, escribe:

B3 in A quadratus + F5 in A –A cubus aequatur de solido
O
B3 in A q + F5 in A – AC aequatur D solido,

Donde in significa multiplicar, q es la abreviatura de quadratus y C significa cubus.

Aunque su álgebra sea más sincopada que simbólica, supone un avance respecto a las anteriores. Además, el simbolismo de Viéte experimentara una mejora importante con la introducción de la notación AAA para A3 debida a Thomas Harriot (1560-1621) que había sido sugerida por Stifel en su Arithmetica Integra.

6.- De aequatioum recognitione et emendatione, publicado en París en 1615, ofrece transformaciones para aumentar o para multiplicar por una constante las raíces de una ecuación, e indicaciones acerca de las relaciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación polinómica.

Por ejemplo, se dio cuenta de que, si x3 + ax = 3b posee dos raíces positivas x1y x2 entonces


a=X12+X1X2+X22
b= X12 X2+X1X22


Donde a > 0 y b > 0. Así, en el capítulo XIV de la misma obra encontramos cuatro teoremas que estipulan la relación general entre los coeficientes y las raíces de una ecuación; sin embargo, el rechazo sistemático de las raíces negativas e imaginarias le impidió estudiar en profundidad las funciones simétricas de las raíces de ecuaciones.







































































































































































Karl Friedrich Gauss

KARL FRIEDRICH GAUSS






Matemático y físico alemán (Brunswick, 1777-Gotinga, 1855). Se le considera el creador de los números complejos y de la teoría de los números algebraicos. Estableció los fundamentos de la teoría matemática de la electricidad y realizó importantes estudios sobre geodesia. Enunció el teorema que lleva su nombre, según el cual el flujo eléctrico que dimana de una superficie cerrada es igual a la suma de las cargas eléctricas contenidas en el interior dividida por la constante dieléctrica del medio.Algunas veces nombrado "príncipe de los matemáticos", Gauss es considerado junto con Isaac Newton y Arquímedes como uno de los tres más grandes matemáticos que han existido. En toda la historia de las matemáticas quizá nunca ha habido un niño tan precoz como Gauss: según cuenta él mismo, ya dominaba las bases de las matemáticas antes de poder hablar.
Un día, cuando aún no tenía tres años de edad, su genio se manifestó a sus padres de manera bastante elocuente. Su padre estaba preparando la nómina semanal de los obreros a su cargo mientras el niño lo observaba en silencio desde un rincón de la habitación. Al final de los cálculos largos y tediosos, Gauss dijo a su padre que había un error en el resultado y le dijo la respuesta, a la que había llegado mentalmente. Para sorpresa de sus padres ¡al comprobar los cálculos se dieron cuenta de que Gauss tenía razón!En su disertación doctoral, Gauss proporcionó la primera demostración completa del teorema fundamental del álgebra, que establece que toda ecuación polinómica tiene cuando mucho, tantas soluciones como su grado. A los 19 años de edad resolvió un problema que desconcertó a Euclides: inscribir un polígono regular de 17 lados en una circunferencia usando sólo regla y transportador; y en 1801, a los 24 años de edad, publicó su primera obra maestra, Disquisitiones Arithmeticae, considerada por muchos como uno de os logros más brillantes en matemáticas.
En este documento, Gauss sistematizó el estudio de la teoría de números (propiedades de los enteros) y formuló los conceptos básicos que constituyen los cimientos de ese tema.Entre la multitud de logros alcanzados, Gauss descubrió la curva "acampanada" o gaussiana que es fundamental en probabilidad, proporcionó la primera interpretación geométrica de los números complejos y estableció el papel fundamental de éstos en las matemáticas, desarrolló métodos para caracterizar superficies intrínsecamente por medio de las curvas contenidas en aquéllas, desarrolló la teoría del mapeo conforme (que preserva ángulos) y descubrió la geometría no euclidiana 30 años antes de que estas ideas fueran publicadas por otros. En física realizó contribuciones esenciales a la teoría de las lentes y a la acción capilar, y junto con Wilhelm Weber realizó trabajo fundamental en electromagnetismo. Gauss inventó el heliotropo, el magnetómetro bifilar y el electrotelégrafo.Gauss era profundamente religioso y se comportaba como aristócrata. Dominaba fácilmente otros idiomas, leía bastante y disfrutaba la mineralogía y la botánica como pasatiempos. No el agradaba dar clases y solía ser frío y poco alentador con otros matemáticos, quizá porque ya había anticipado el trabajo de éstos. Se ha afirmado que si Gauss hubiera publicado todos sus descubrimientos, el estado actual de las matemáticas habría avanzado 50 años. Sin duda alguna es el matemático más grande de la época moderna.

Numeros, historia

HISTORIA

Aunque hoy nos es muy familiar el concepto de número, éste fue elaborado muy lentamente a través de los tiempos. Incluso en tiempos recientes, tribus que mantenían normas de vida muy primitivas tenían los conceptos numéricos muy atrasados. Por ejemplo, se dan casos en los que no existía nombre para cantidades mayores que tres; en otros, para números un poco mayores se utilizaban términos similares a "muchos" o "incontables".

Si retrocedemos al tiempo, de las cuatro grandes civilizaciones del mundo occidental antiguo (Babilonia, Egipto, Grecia y Roma), veremos que babilonios y griegos desarrollaron elevados conocimientos de matemáticas.

Para poder realizar importantes obras agrícolas y arquitectónicas, los babilonios tuvieron que desarrollar, hacia el siglo XXII a. de C., un sistema de numeración útil.

Se sabe que su sistema de numeración era de base 60 (a diferencia del actual, que es de base 10); es decir, dividían la unidad en 60 partes (de forma similar a como dividimos una hora en 60 minutos). Los sumerios también utilizaban este sistema de numeración, y realizaban complicados cálculos aritméticos.

Aunque los egipcios no hicieron aportaciones tan significativas como los griegos al desarrollo de los números, se ha encontrado un interesante documento, en el cual se demuestra que ya manejaban algunas fracciones sencillas. Este documento se denomina el Papiro de Rhind. Fue escrito bajo el reinado del rey Ekenenre Apopi, hacia el 1600 a. de C., y, al parecer, es una transcripción de un escrito más antiguo, que se remontaría al reinado de Amenemhat o Amenemes III (XII dinastía, 1850-1800 a. de J. C.). En este papiro se observan unas reglas para realizar sumas y restas de fracciones.

Cuando se debía realizar una repartición exacta, no se presentaban problemas de cálculo; sin embargo, si había que dividir 42 panes entre 10 personas, la operación se complicaba. En estos casos, los babilonios utilizaban el número decimal (4,2), mientras que los egipcios, con un sistema de numeración más primitivo, necesitaban de las fracciones para expresar estas divisiones no exactas. Conocían las fracciones de numerador 1 y de denominador 2, 3, 4, etc., además de las fracciones 2 / 3 y 3 / 4. En el papiro de Rhind se propone un método de cálculo (bastante pesado) que permite dividir 2 entre 19 de la siguiente manera:

Los chinos también conocían las fracciones, y sabían reducir a común denominador. Llamaban "hijo" al numerador, y "madre" al denominador.

Pero, entre todos los pueblos de la antigüedad, fueron los griegos los que realizaron las aportaciones más valiosas al desarrollo del concepto de número. La escuela pitagórica (siglo V a. de C.) descubrió que sólo con los números naturales y las fracciones no pueden realizarse todas las medidas posibles. Existían pares de segmentos, como la diagonal y el lado de un pentágono regular, o la diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo cociente de longitudes no es una fracción. Creyeron que el caos entraba en su mundo ordenado, y llamaron a tal razón "alogos" o irracional.

Posteriormente se desarrolló el concepto de número negativo. Fueron los chinos, quienes en el siglo III a. de C. emplearon las varas de contar, un conjunto de barras pintadas de rojo para los números positivos, y de negro para los negativos. Un siglo después, aparecen por vez primera reglas para operar con los números negativos; sin embargo, no eran aceptados como soluciones de los problemas.

Siglos después, hacia el año 500, en la India se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración. El principio de posición (valor relativo de las cifras), las nueve cifras y el cero aparecen en las obras del matemático indio Brahmagupta. Durante esta época, los matemáticos indios también aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces de otros números que no podían ser expresados mediante números racionales.

En el año 772, una embajada india llevó hasta Bagdad los libros en que se recogían estos conocimientos. Gracias a este hecho, en la primera mitad del siglo IX se recopilaron los nuevos métodos matemáticos en un tratado de Al-Khuwarizmi, que en el siglo siguiente se difundieron lentamente por Occidente.

La civilización musulmana llevó estos conocimientos a Sicilia y a España, y los mercaderes árabes e italianos los adoptaron, satisfechos de no tener que llevar consigo el incómodo ábaco. Fue el mercader Leonardo Pisano quien, después de haber aprendido aquel arte de los árabes en sus viajes comerciales por Argelia, Sicilia y Oriente, reunió todos los conocimientos de aritmética y álgebra de su tiempo en una obra llamada Liber Abaci (1202), que difundió por Europa la numeración india.

Hasta entonces, en Europa se habían evitado los números negativos; pero en el siglo XIII, el matemático italiano Fibonacci, en un problema referente al dinero, que no tiene solución positiva, observó su necesidad. Durante el siglo XIV, los números negativos eran denominados numeri absurdi. Se debió esperar hasta el siglo XV, para que el francés Chaquet expresara por primera vez un número negativo aislado en la ecuación

4x = -2

Durante el siglo XVI, se popularizó el uso de la barra horizontal para separar los términos de una fracción, nomenclatura de origen árabe. Pero, aunque algunos problemas se solucionaban, surgían otros. Al intentar resolver ecuaciones de segundo grado como

x2 - 2x + 5 = O

y otras de grado mayor, empezaron a encontrarse expresiones, como la raíz cuadrada de -16, que no se sabían interpretar. Aun sin entenderlas, algunos comenzaron a manipularlas con las mismas reglas que utilizaban para los números que conocían. Fue Cardano, durante este mismo siglo, quien propuso un nuevo tipo de números, que denominó ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números negativos.

El problema de los números irracionales no se resolvió por completo hasta el Siglo XVII, cuando Fermat, matemático francés que puede ser considerado el padre de la moderna teoría de números, demostró que expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran números racionales.

Sólo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a la raíz cuadrada de -1 el nombre de i (imaginario). En 1799, Gauss acabó de resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número "ordinario" (hoy lo llamamos número real), más un múltiplo de la raíz cuadrada de -1, llamado unidad imaginaria.

Como ha podido comprobarse, para llegar a conceptos que hoy nos parecen sencillos y lógicos, han tenido que pasar muchos siglos y muchas culturas, cada uno de los cuales ha hecho sus aportaciones al conocimiento de los números.

domingo, 23 de noviembre de 2008

HISTORIA DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

HISTORIA DE LAS RAZONES TRIGONÓMETRICAS

La trigonometría fue desarrollada por astrónomos griegos que consideraban al cielo como el interior de una esfera, de modo que resulto natural estudiar primero los triángulos sobre una esfera (por Menélao de Alejandría, año 100 antes de nuestra era) y que los triángulos en el plano fueran estudiados mucho después. Así el origen de los estudios de la trigonometría debe buscarse en tiempos muy anteriores a nuestra era , donde como ya se menciono muchos hombres estudiaron primero la esfera celeste , en el cual se suponía que se desplazaban el Sol , la Luna y las estrellas y cuya posición se calculaba mediante la medición de ángulos. Los dos hombres famosos que se interesaron mas por esos estudios fueron los astrónomos griegos Hiparco de Nicea (Siglo II antes de nuestra era) y Claudio Ptolomeo (Siglo II después nuestra era),

El origen del termino seno lo podemos ubicar por el año 500 (de nuestra era) los matemáticos de la India empezaron a estudiar el movimiento de una recta que gira en sentido contrario a las de las manecillas del reloj, alrededor de un punto fijo, y al medir las longitudes de las semicuerdas estas se les asocio al ángulo originado por el giro de la recta (véase figura 1)

Figura 1
Los hindúes dieron el nombre de jva a dicha semicuerda, nombre que en hindú significa cuerda. La palabra paso al árabe como jiba y mas tarde se confundió con la palabra árabe jaib debido probablemente que las palabras árabes se escribían sin vocales y por ser iguales las consonantes de ambas jiba y jaib, es decir jb. Sin embargo la palabra jaib no tiene relación alguna con la longitud de la semicuerda ya que en árabe significa la abertura en el cuello de una prenda de vestir. Pese a ello los árabes se acostumbraron a llamar a la semicuerda como jaib, palabra que tiene más relación con curva o doblez. Por ese tiempo los matemáticos europeos se familiarizaron con la palabra árabe referente a semicuerda y tradujeron la palabra jaib por la palabra sinus que significa doblez o curva. Entonces, dicho error se ha perpetuado en nuestra palabra seno. Así pues originalmente el seno de un ángulo representaba la longitud de una semicuerda de una circunferencia de radio uno .




Desde antes de nuestra era el hombre se intereso por la relación entre la longitud de un objeto vertical y la longitud de la respectiva sombra que proyectaba (ver figura 2)
Figura 2



En gnomónica se denomina Umbra versa a la sombra que arroja un ortostilo sobre una pared, similarmente se denomina a la razón entre la longitud de la sombra y la longitud del ortostilo que la genera. El concepto se opone a umbra recta (sombra arrojada sobre una superficie horizontal por un ortoestilo). Está muy relacionado con el concepto de cotangente y antiguamente era calculado con una tabla especial adosada al astrolabio que a veces se denominaba cuadrante de sombras.
La umbra versa está muy relacionada con la historia de la trigonometría ya que las primeras tablas de tangentes estaban en las partes traseras de los astrolabios árabes en los años 860 y usaban indistintamente los conceptos de umbra recta y umbra versa. Viète usó los términos posteriormente como amsinus y prosinus. El nombre de tangente fue usado por primera vez por Thomas Fincke en 1583. El término cotangente fue usado por primera vez por Edmund Gunter en 1620.
Además, en la historia, el origen del término tangente se asocia a la recta tangente a una circunferencia que como sabemos es aquella recta que intersecta a la circunferencia en tan sólo un punto, ahora bien la palabra tangente se asocia a l termino en latín tongo que significa toco. En el siglo XVI los matemáticos empezaron a designar a CB (ver figura 3) como la tangente del ángulo COB.

Figura 3
El primer libro que tiene un tratamiento sistemático de trigonometría plana y esférica fue escrito por el astrónomo persa Nasir Eddin (alrededor de 1250 antes de n.e.), así se comenzó a considerar a la Trigonometría como ciencia independiente y no como un simple capitulo de la Astronomía; Regio Montano ( 1436-1476) es el autor principal a quien se debe el traslado de la Trigonometría astronómica a las matemáticas; Regimontano o Johan Miller fue autor de la obra De Triangulis Omnimodes libri quinqué, en esta obra contiene tablas de senos y de tangentes, es considerado como autor de la trigonometría moderna .Su trabajo fue mejorado por Copérnico (1473-1543) y por el alumno de Copernico ,Rhaeticus(1514-1576). La obra de Rhaeticus fue la primera en definir las seis funciones trigonométricas como razones entre lados de triángulos, aunque no le dio a las razones trigonométricas sus nombres actuales. El trabajo de Regiomontano. El crédito de esto se lo lleva Thomas Fincke (1583), pero en su época esa notación no fue aceptada universalmente. Las notaciones quedaron establecidas a partir de los libros de texto de Leonardo Euler (1707-1783) que sentó las bases del análisis matemático avanzado al generalizar su fórmula para que conectase las funciones exponenciales y las trigonométricas. Con ello también desarrolló el cálculo complejo.